Thales Teoremi: “En az üç paralel doğru, iki kesen üzerinde uzunlukları orantılı parçalar ayırır.” Thales teoreminin uygulanması aslında benzerlik bağıntılarının bir özel uygulamasıdır. Thales teoremi ispatlanırken de AAA benzerliğinden yararlanarak ispatlama işlemi yapılır.

 

 

Birbirine paralel olan üç veya daha fazla doğru, iki farklı doğruyla kesişirse, kesenler üzerinde ayrılan karşılıklı doğru parçalarının uzunlukları orantılı olur. İkinci thales teoremi de buna benzer biçimde yine benzerlik yardımıyla birbirini kesen iki doğru ve bunları kesen birbirine paralel doğrular yardımıyla oluşan şekilde benzer üçgenlerin kenarları arasındaki orantıdan oluşur. Kesişen iki doğru, paralel iki doğru ile kesildiğinde, oluşan iki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları orantılı olur.

 

Thales Teoremi Üçgenlerde benzerlik işlemlerinin temelini oluşturan önemli bir teoremdir. Bu nedenle iyi bilinmesi ve örneklerle pekiştirilmesi gerekmektedir.

Kaynak

Açıortay, geometride herhangi bir açıyı iki eşit açı şeklinde bölen doğru parçasıdır. Özel olarak herhangi bir üçgende iç veya dış açılardan herhangi birisini iki eşit ölçüde ayıracak şekilde çizilen doğru parçasına o açının açıortayı denir. Eğer bu açı dış açı ise bu doğru parçası dış açıortay, bölünen bu açı iç açı ise o zaman da bu doğru parçası iç açıortay olarak isimlendirilir. Bir açıya teğet tüm çemberler çizilerek merkezleri birleştirilirse, o açının açıortayı elde edilir. Bu nedenle açıortaylardan açının kollarına indirilen dikmeler, o çemberlerden birinin merkezinden teğetlere inilen yarıçap dikmeleri olacağından, dikmeler birbirine eşit olur. Her iki kolda oluşan üçgenler de birbirine eşit olacağından, dikmelerin açıortay kollarını kestiği noktalar ile açının bulunduğu köşeye olan uzaklıklar eşit olur.
Bir üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişir. Bu nokta üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir. Bu noktanın iç teğet çemberi olmasının sebebi ise, iç açıortayların kesişim noktasından kenarlara inilen dikmelerin birbirine eşit olmasıdır (çember merkezden teğetlere çizilen doğru parçaları teğete diktir ve hepsi yarıçaptır). Bir üçgende açıortayla ilgili iki önemli bağıntı vardır. Bunlardan birisi açıortay teoremidir. Bu teorem bir tür kenar ve açıortay parçaları oranıdır.
 
 
 

Verilen herhangi bir üçgende iç açıortay veya dış açıortay çizilmiş olursa buna bağlı olarak özel teoremler yazılabilir. Teoremler yazılırken üçgenlerde benzerlik ilişkisinden yararlanılır.

 

 

Kaynak

Türev ve integral, matematiğin en önemli konseptlerinden ikisidir. Günümüzde okullarda (liselerde) bu ikili çok yüzeysel bir şekilde ve çoğunlukla tamamen ezbere dayalı olarak anlatılmaktadır. Özellikle de bu kavramların ne anlama geldiği öğrenciye anlatılmadan, sadece nasıl çözüleceği üzerinden anlatım yapılmaktadır. Örneğin türev için "sayının üssünü katsayı olarak önüne al ve üssü 1 azalt" denmekte, integrali anlatmak içinse "üssü 1 arttırıp, aynı sayıyı payda olarak sayının altına yaz" gibi kalıp halinde ve algılamanın imkansız olduğu bir biçimde anlatılmaktadır. 

Türev ve İntegrali Basit Bir Örnekle Anlamak

Aslında iki kavram da, öylesine temel ve öylesine basittir ki... Buna rağmen, matematiğin, modern bilimin ve mühendisliğin kalbinde yatan kavramlardır. Türev ve integrali binbir farklı şekilde anlatmak mümkündür, fakat temel düzeyde anlamak için kısa bir tanım yapacağız: Türev, herhangi bir zaman aralığındaki değişim miktardır. Yani "değişim"i ölçmek için kullanılır. Az sonra örneklendireceğiz. İntegral ise, belli bir aralıktaki toplam değişimi, ya da biriken değişim miktarını, ifade etmek için kullanılır. Türev ve integrali anlamak için, integrali çözme yöntemleri bir kenara bırakılarak, hayattan örneklere bakılabilir.

Örneğin tavanınız akıtıyorsa ve etrafı su götürmemesi için akıtan noktanın hizasına büyük bir kova koyduysanız, kova içerisindeki su damla damla birikecektir. Birim zamanda (örneğin 1 saatte) kovadaki suyun hacmindeki değişim miktarı türev ile hesaplanır. Çok basit tabiriyle, hacim miktarındaki değişimin, zamandaki değişime oranıdır. Tabii ki bu hesabın bu şekilde kolayca anlaşılabilmesi için, tavanın düzenli olarak akıttığı varsayılmalıdır. Eğer ki tavan bir hızlı, bir yavaş akıtıyorsa, o zaman çeşitli yöntemlerle bu akıtma davranışı matematiksel olarak tanımlanmalı ve ondan sonra belirli bir zamandaki değişim hesaplanmalıdır. Fakat basit bir şekilde düşünecek olursak, her saniye 1 damla damlatan bir tavanın kovayı doldurma hızı, türevle hesaplanır. Bu tür çok basit işler için yapılan işlemlerde türev, basit çarpım ve toplam işlemlerine dönüşür. Bu sebeple türev olarak düşünemize gerek kalmaz; ancak değişim olan her şeyin özü, türeve dayanmaktadır. İntegral ise, belli bir değerin, belli bir diğer değere göre değişiminin toplamıdır. Örneğin damlatan tavanımızın hızının giderek arttığını düşünelim. 24 saatlik bir süre zarfında, kaç kova dolusu su birikeceğini, integral hesabıyla bulabiliriz. 
 
 
Görseldeki İntegrali Anlamak
 
Görselde, "edebi" bir örnek üzerinden integral anlatılmaktadır. Her ne kadar bilimsel geçerliliği tartışılır olsa da, integral hesaplarında yer alan değerleri anlamak için faydalı olduğu için bu örneği vermek istedik. Öncelikle, denklemde sol tarafta belirtilen "yaşam", integral işleminin sonucudur. Yani tanımlamak istediğimiz şey, yaşamdır. Burada, örneklemek bakımından şu edebi cümleyi düşünelim: "Yaşam, ömrünüz boyunca geçirdiğiniz zamanda aldığınız mutlulukların toplamından ibarettir."
 
Bu cümlenin integral ifadesi, görseldeki gibidir. Önce, değişken belirlenmelidir. Burada değişen şey, zamandır. Sonrasında, hesaplamak istediğimiz şey belirlenir: mutluluk. Yani sözün iddia ettiği gibi, mutluluğun zaman içerisindeki birikimini hesaplamak istiyoruz. Bunun, yaşama eşit olduğunu iddia edeceğiz. İntegral işareti (uzunca bir S şeklinde olan işaret) altına, değişkenin (bu durumda "zaman") başlangıcı yazılır: doğum. Üstüne, hesaplanmak istenen aralığın sonu yazılır: ölüm. İntegralin iç kısmına, hesaplanmaya çalışılan şey yazılır. Bu durumda, "zaman başına düşen mutluluk" hesaplanmaktadır. Dolayısıyla "mutluluğun zamana bölümü" yazılmıştır. Benzer bir hesap, sadece "mutluluk" olarak da yapılabilirdi. Bu örnekte, zaman başına düşen mutluluk yazılmıştır. Son olaraksa, değişken Δ işaretiyle (ya da genelde "d" harfiyle) birlikte yazılır. Δzaman, "birim zaman" demektir. İşte oldu! Zaman (ya da birim zaman) başına düşen mutluluğun birikimini, doğumdan ölüme kadar, birim zaman aralıkları boyunca hesapladık. Bunu da yaşama eşitledik!
 
Aynı örnek üzerinden gidilecek olursa türev, iki birim zaman arasındaki mutluluk miktarınızın değişimiyken; integral, birim zamanlar boyunca belli bir aralıkta tüm bu mutluluk değerlerinin bir toplamıdır. Bu örnekteki temel nokta, "mutluluk" değerinin matematiksel ifadesidir. İntegral içerisinde toplamak istediğimiz olgunun matematiksel ifadesi önemlidir. Yani edebi bir anlatım yapmıyor olsaydık da, mutluluk yerine yazacağımız şeyi (örneğin değişen hızlarda damlatan bir çatıyı) matematiksel olarak tanımlamamız gerekirdi. Ki bu, gerçek sorunlarla karşılaşan bilim insanlarının yaptığı ilk şeydir. Sonrasında, integrali tespit ederler ve sayısız çözüm yönteminden uygun olan birini kullanarak çözerler. 
 
Grafiklerin Türev ve İntegralini Anlamak
Bu noktada, okullarda kalıp halinde öğretilen bir diğer nokta da anlaşılır hale gelebilir. Lisede hep şuna benzer bir şey söylerler: "türev, grafikte belli bir noktaya çizilen teğet çizgisinin eğimiyle ifade edilir." Neden? Türevin anlamını hatırlayın: değişim! Elimizdeki grafik (ya da "geometrik eğri"), tıpkı yukarıda anlattığımız "mutluluğun matematiksel tanımı" gibi, bir şeyi grafiksel olarak tanımlayan bir çizgidir. Bunun herhangi bir noktasındaki (eğer zamana bağlı türev alıyorsak, herhangi bir "anındaki") değişim, eğri üzerinde spesifik olarak o noktadan bir sonraki noktaya geçerken ne kadar değişim geçirmemiz gerektiğidir. Bunu tam olarak tespit etmek mümkün değildir, ancak o noktada grafiğe çizilen bir teğet, tıpkı bir "kaydırak" görevi görecek ve dikkate aldığımız noktadan, bir sonraki noktaya olan gidişatı belirleyecektir. O kaydırak ne kadar "dik" ise, o kadar hızlı bir değişim var demektir: çünkü dik bir kaydıraktan, hızlı bir şekilde kayabilirsiniz. Değişim, çok hızlı olur. O teğet ne kadar yataysa, değişim o kadar azdır. Çünkü yatay bir kaydırakta çok yavaş ilerleyebilirsiniz, konumunuzun değişimi çok azdır! Yani gerçek hayattaki bir kaydırak, sizin bir noktadan bir sonraki noktaya gidişinizi gösteren bir türev eğrisi gibi düşünülebilir.
 
İntegral ise, bir eğrinin altında kalan her şeyin toplamıdır. Zaten tanımı gereği, integralin "iki aralık arasında değişen bir değişkenin toplamı" olarak izah edildiğini hatırlayın. Bu sebeple, bir hız-zaman grafiğinin yatay eksen ile arasındaki toplam alan, alınan toplam yolu verir. Bunu iki açıdan düşünebilirsiniz: ilki, somut fiziktir. Konum, hızın zamana göre integralidir. Dolayısıyla hız grafiğinin altındaki alan, integrale denk geldiğinden, toplam konumu verir. Anlaması, lisedeki gibi zor, değil mi? Ancak ikinci yöntem, integralin basamak basamak toplamak olduğunu düşünmektir. Belli bir hızla hareket eden bir cisim, her saniye belli bir miktar yol kat eder. Bu yolların toplamı, iki zaman sınırı arasında alınan toplam yola eşittir. İşte bunu kolayca bulmanın yolu, grafiği tanımlayan matematiksel denklemin integralini almaktır. x eksenine göre (Δx veya dx yazarak) integralini aldığınızda, x ekseni ile grafik arasında kalan alanı hesaplamış olursunuz. Eğer grafiğiniz hız-zaman eğrisiyse bu size toplam alınan yolu verir. 
 
Kalkülüs'ün Temel Teoremi'ne göre türev ve integral birbirinin tersidir. Dolayısıyla bir değişkenin önce integralini, sonra türevini alırsanız (ya da tam tersi), değişkenin kendisini elde edersiniz. Aslında bu her zaman doğru değildir; integralin sınırları da önemlidir. Ancak basitçe akılda tutmak için, bu kadar detaya ihtiyacınız şimdilik yok. İkisini birbirinin tersi olarak görebilirsiniz.
 
Bu konuda daha pekçok söz söylenebilir; ancak umuyoruz ki bu matematiksel terimlerin ne için kullanıldığını anlamanıza katkı sağlamışızdır.
 
Hazırlayan: ÇMB (Evrim Ağacı)

Geometrik cisimlerin hacimleri ve alanları

  • Dikdörtgenler Prizması Hacmi ve Yüzey Alanı

  • Paralelkenar Prizmanın Hacmi

  • Kürenin Hacmi ve Kürenin Yüzey Alanı

  • Silindirin Hacmi ve Silindirin Yüzey Alanı

  • Yamuk Silindirin Hacmi ve Yamuk Silindirin Alanı

  • Düzgün olmayan kesitli silindir

  • Koninin hacmi ve koninin yüzey alanı

  • Piramitin hacmi

  • Küre parçasının hacmi ve yüzey alanı

  • Kesik koninin hacmi ve yüzey alanı